秋田に生まれる。廣業は本名で画号。別号に秀斎、宗山、騰龍軒などがある。寺崎家は秋田藩の家老を勤めた家だが、廃藩後父が学校経営など事業で失敗し画家を目指す。はじめ小室怡々斎に師事、上京して一時平福穂庵につき、菅原白龍にも学んだ。穂庵の帰郷後東陽堂の美術雑誌『絵画叢誌』の挿図を引き継いで担当し、幅広く名画を縮画し様々な画風を学んだ。日本美術協会に出品し、1891年日本青年絵画協会結成に加わる。岡倉天心に認められ98年日本美術院の創設に参画、洋画に学び日本画の新たな表現を追及した。またその品格ある美人画は、鏑木清方ら美人画家に先駆けて影響を与えた。その後美術院からは離れ、1901年東京美術学校教授、7年文展審査委員、17年帝室技芸員となるなど、日本画壇の中心にあり多くの弟子を育てた。晩年は水彩画、大和絵、南画の特徴を生かした折衷様式により新たな風景画を模索するなど、終生日本画の近代化に尽くし、東京にて没した。
